Razumijevanje maxwellovih jednadžbi

Maxwellove jednadžbe su osnove elektromagnetske teorije, koja čini skup od četiri jednadžbe koje se odnose na električno i magnetsko polje. Umjesto navođenja matematičkog prikaza Maxwellovih jednadžbi, usredotočit ćemo se na stvarni značaj tih jednadžbi u ovom članku. Maxwellova prva i druga jednadžba bave se statičkim električnim poljima, odnosno statičkim magnetskim poljima. Maxwellova treća i četvrta jednadžba bavi se promjenom magnetskih polja, odnosno promjenom električnih polja.

Maxwellove jednadžbe su:

1. Gaussov zakon o električnoj energiji
2. Gaussov zakon magnetizma
3. Faradayev zakon indukcije
4. Amperov zakon

1. Gaussov zakon o električnoj energiji

Ovaj zakon kaže da je električni tok izvan zatvorene površine proporcionalan ukupnom naboju zatvorenom tom površinom. Gaussov zakon bavi se statičkim električnim poljem.

Razmotrimo pozitivni točkasti naboj Q. Znamo da su vodovi električnog toka usmjereni prema van od pozitivnog naboja.

Razmotrimo zatvorenu površinu naboj Q _zatvoren u njemu. Vektor područja uvijek je odabran Normalno za njega jer predstavlja orijentaciju površine. Neka je kut koji stvara vektor električnog polja s vektorom površine θ.

Električni tok ψ je

Razlog odabira točkanog proizvoda je taj što moramo izračunati koliki električni tok prolazi površinom predstavljenom vektorom normalne površine.

Iz zakona o kulombima znamo da je Električno polje (E) zbog točkastog naboja Q / 4πε ₀ r ².

S obzirom na sfernu simetriju, Integralni oblik Gaussova zakona je:

Stoga je električni tok Ψ = Q _zatvoren / ε ₀

Ovdje _priloženo Q predstavlja vektorski zbroj svih naboja unutar površine. Područje koje okružuje naboj može biti bilo kojeg oblika, ali da bismo primijenili Gaussov zakon, moramo odabrati Gaussovu površinu koja je simetrična i ima jednoliku raspodjelu naboja. Gaussova površina može biti cilindrična ili sferna ili ravnina.

Da bismo izveli njegov diferencijalni oblik, moramo primijeniti teorem o divergenciji.

Gornja jednadžba je diferencijal oblik Gaussove zakonom ili Maxwell jednadžbu sam.

U gornjoj jednadžbi, ρ predstavlja volumnu gustoću naboja. Kada moramo primijeniti Gaussov zakon na površinu s linijskim nabojem ili raspodjelom površinskog naboja, prikladnije je predstaviti jednadžbu s gustoćom naboja.

Stoga možemo zaključiti da divergencija električnog polja na zatvorenoj površini daje količinu naboja (ρ) koja je njime zatvorena. Primjenom divergencije na vektorsko polje možemo znati djeluje li površina zatvorena vektorskim poljem kao izvor ili ponor.

Razmotrimo kuboid s pozitivnim nabojem kao što je gore prikazano. Kada primijenimo divergenciju na električno polje koje izlazi iz kutije (kuboid), rezultat matematičkog izraza govori nam da ta kutija (kuboid) djeluje kao izvor za izračunato električno polje. Ako je rezultat negativan, govori nam da kutija djeluje kao umivaonik, tj. Kutija u nju zatvara negativni naboj. Ako je divergencija Nula, to znači da u njoj nema naboja.

Iz ovoga bismo mogli zaključiti da postoje električni monopoli.

2. Gaussov zakon magnetizma

Znamo da linija magnetskog toka izvana teče od sjevernog do južnog pola.

Budući da postoje magnetske struje zbog stalnog magneta, bit će mu pridružena gustoća magnetskog toka (B). Kada primijenimo teorem o divergenciji na površinu S1, S2, S3 ili S4, vidimo da broj linija protoka koji ulaze i izlaze iz odabrane površine ostaje isti. Stoga je rezultat teorema o divergenciji Nula. Čak i na površinama S2 i S4, divergencija je nula, što znači da ni sjeverni ni južni pol pojedinačno ne djeluju na izvor ili sudoper poput električnih naboja. Čak i kad primijenimo divergenciju magnetskog polja (B) zbog žice koja nosi struju, ispada da je nula.

Sastavni oblik Gaussova zakona magnetizma je:

Diferencijalni oblik Gaussova zakona magnetizma je:

Iz ovoga bismo mogli zaključiti da magnetski monopoli ne postoje.

3. Faradayev zakon indukcije

Faradayev zakon kaže da će, kada dođe do promjene magnetskog toka (koja se mijenja s obzirom na vrijeme) koja povezuje zavojnicu ili bilo koji vodič, u zavojnici biti inducirani EMF. Lenz je izjavio da će inducirani EMF biti u takvom smjeru da se suprotstavi promjeni magnetskog toka koji ga stvara.

Na gornjoj ilustraciji, kada se provodna ploča ili vodič dovedu pod utjecaj magnetskog polja koje se mijenja, u njemu se inducira cirkulirajuća struja. Struja se inducira u takvom smjeru da se magnetsko polje koje ona stvara suprotstavlja promjenjivom magnetskom koji ju je stvorio. Iz ove ilustracije jasno je da magnetsko polje koje mijenja ili varira stvara električno polje u cirkulaciji.

Iz Faradayevog zakona, emf = - dϕ / dt

Mi to znamo, ϕ = _{zatvorena površina} ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS

Električno polje E = V / d

V = ʃ E.dl

Budući da se električno polje mijenja u odnosu na površinu (uvoj), postoji potencijalna razlika V.

Stoga je integralni oblik Maxwellove četvrte jednadžbe,

Primjenom Stokeova teorema,

Razlog primjene Stokeovog teorema je taj što kad zavojimo rotirajuće polje preko zatvorene površine, unutarnje komponente vijugave vektora međusobno se poništavaju i to rezultira vrednovanjem vektorskog polja duž zatvorenog puta.

Stoga to možemo napisati,

Diferencijalni oblik Maxwellove jednadžbe je

Iz gornjeg izraza jasno je da magnetsko polje koje se mijenja s obzirom na vrijeme stvara cirkulirajuće električno polje.

Napomena: U elektrostatici, uvoj električnog polja jednak je nuli jer izlazi radijalno prema van iz naboja i s njim nije povezana rotirajuća komponenta.

4. Amperov zakon

Ampereov zakon kaže da kada električna struja teče kroz žicu, ona oko nje stvara magnetsko polje. Matematički, linijski integral magnetskog polja oko zatvorene petlje daje ukupnu struju koja je njime zatvorena.

ʃ B .dl = μ ₀ I priloženo

Budući da se magnetsko polje kovrči oko žice, možemo primijeniti Stokeov teorem na Ampereov zakon.

Stoga jednadžba postaje

Struju zatvorenu možemo prikazati u smislu gustoće struje J.

B = μ ₀ H pomoću ove relacije izraz možemo zapisati kao

Kada primijenimo divergenciju na uvoj rotirajućeg vektorskog polja, rezultat je nula. To je zato što zatvorena površina ne djeluje kao izvor ili sudoper, tj. Broj protoka koji ulazi i izlazi s površine je jednak. To se može matematički predstaviti kao,

Razmotrimo sklop kao što je ilustrirano u nastavku.

Na krug je priključen kondenzator. Kada primijenimo divergenciju u regiji S1, rezultat pokazuje da ona nije nula. U matematičkom zapisu,

U krugu postoji struja, ali u kondenzatoru se naboji prenose zbog promjene električnog polja na pločama. Dakle, fizički struja kroz njega ne teče. Maxwell je taj promjenjivi električni tok smislio kao istisnu struju (J _D). No, Maxwell je skovao termin Struja istiskivanja (J _D) uzimajući u obzir simetriju Faradayevog zakona, tj. Ako magnetsko polje koje se mijenja u vremenu stvara Električno polje, a simetrijom promjena električnog polja stvara magnetsko polje.

Curl intenziteta magnetskog polja (H) u području S1 je

Integralni oblik Maxwellove četvrte jednadžbe može se izraziti kao:

Diferencijalni oblik Maxwellove četvrte jednadžbe je:

Sve ove četiri jednadžbe ili u integralnom ili u diferencijalnom obliku zajedno nazivamo Maxwellovom jednadžbom.