Butterworthov filtar: prvostupanjski i drugorazredni niskopropusni butterworthov filtar

Električni filtri imaju mnogo primjena i široko se koriste u mnogim krugovima za obradu signala. Koristi se za odabir ili uklanjanje signala odabrane frekvencije u kompletnom spektru datog ulaza. Dakle, filtar se koristi za propuštanje signala odabrane frekvencije ili za uklanjanje signala odabrane frekvencije koji prolaze kroz njega.

Trenutno postoje mnoge vrste filtara koji se razlikuju na više načina. I pokrivali smo mnoge filtere u prethodnim vodičima, ali najpopularnije razlikovanje temelji se na,

Analogni ili digitalni
Aktivno ili pasivno
Audio ili radio-frekvencija
Odabir frekvencije

Analogni ili digitalni filtri

Znamo da su signali koje stvara okolina analogne prirode, dok su signali obrađeni u digitalnim krugovima digitalne prirode. Moramo koristiti odgovarajuće filtre za analogne i digitalne signale kako bismo postigli željeni rezultat. Stoga moramo koristiti analogne filtre tijekom obrade analognih signala i digitalne filtre dok obrađujemo digitalne signale.

Aktivni ili pasivni filtri

Filteri su također podijeljeni na temelju komponenata korištenih tijekom dizajniranja filtara. Ako se dizajn filtra u potpunosti temelji na pasivnim komponentama (poput otpornika, kondenzatora i induktora), tada se filter naziva pasivnim filtrom. S druge strane, ako tijekom projektiranja sklopa koristimo aktivnu komponentu (op-pojačalo, izvor napona, izvor struje), tada se filtar naziva aktivnim filtrom.

Popularnije je da je aktivni filtar poželjniji od pasivnog jer ima brojne prednosti. Nekoliko od ovih prednosti spomenuto je u nastavku:

Nema problema s opterećenjem: Znamo da u aktivnom krugu koristimo opcijsko pojačalo koje ima vrlo visoku ulaznu i malu izlaznu impedansu. U tom slučaju kada aktivni filtar priključimo na krug, tada će struja koju vuče op-pojačalo biti vrlo zanemariva, jer ima vrlo visoku ulaznu impedansu, a samim time krug ne opterećuje kada je filtar spojen.
Fleksibilnost podešavanja pojačanja: U pasivnim filtrima pojačanje ili pojačanje signala nije moguće jer neće biti određenih komponenata za izvršavanje takvog zadatka. S druge strane, u aktivnom filtru imamo op-pojačalo koje može pružiti veliko pojačanje ili pojačanje signala na ulaznim signalima.
Fleksibilnost podešavanja frekvencije: Aktivni filtri imaju veću fleksibilnost prilikom podešavanja granične frekvencije u usporedbi s pasivnim filtrima.

Filteri zasnovani na audio ili radio frekvencijama

Komponente korištene u dizajnu filtra mijenjaju se ovisno o primjeni filtra ili o mjestu gdje se postavljanje koristi. Na primjer, RC filtri koriste se za audio ili niskofrekventne programe, dok se LC filtri koriste za radio ili visokofrekventne programe.

Filteri na temelju odabira frekvencije

Filteri su također podijeljeni na temelju signala koji prolaze kroz filtar

Niskopropusni filtar:

Svi signali iznad odabranih frekvencija oslabljuju se. Postoje dvije vrste - aktivni niskopropusni filtar i pasivni niskopropusni filtar. Frekvencijski odziv niskopropusnog filtra prikazan je u nastavku. Ovdje je točkasti graf idealan graf niskopropusnog filtra, a čisti graf stvarni je odgovor praktičnog sklopa. To se dogodilo jer linearna mreža ne može proizvesti prekidni signal. Kao što je prikazano na slici nakon što signali dosegnu graničnu frekvenciju fH, oni doživljavaju slabljenje i nakon određene veće frekvencije signali dani na ulazu potpuno se blokiraju.

Visokopropusni filtar:

Svi signali iznad odabranih frekvencija pojavljuju se na izlazu, a signal ispod te frekvencije blokira se. Postoje dvije vrste - aktivni visokopropusni filtar i pasivni visokopropusni filtar. Frekvencijski odziv visokopropusnog filtra prikazan je u nastavku. Ovdje je točkasti grafikon idealan graf visokopropusnog filtra, a čisti grafikon stvarni je odgovor praktičnog sklopa. To se dogodilo jer linearna mreža ne može proizvesti prekidni signal. Kao što je prikazano na slici, sve dok signali nemaju frekvenciju veću od granične frekvencije fL, doživljavaju slabljenje.

Propusni filtar:

U ovom se filtru na izlazu smiju pojavljivati samo signali odabranog frekvencijskog područja, dok se signali bilo koje druge frekvencije blokiraju. Frekvencijski odziv propusnog filtra prikazan je u nastavku. Ovdje je točkasti graf idealan graf propusnog opsega filtra, a čisti graf stvarni je odgovor praktičnog sklopa. Kao što je prikazano na slici, signali na frekvencijskom rasponu od fL do fH smiju prolaziti kroz filtar dok signali drugog prigušenja frekvencije doživljavaju slabljenje. Ovdje saznajte više o Band Pass filtru.

Filtar za odbijanje opsega:

Funkcija filtra za odbijanje opsega upravo je suprotna opsegu filtra. Svi frekvencijski signali koji imaju vrijednost frekvencije u odabranom opsegu opsega na ulazu filtar blokira, dok se na izlazu smiju pojaviti signali bilo koje druge frekvencije.

Svepropusni filtar:

Kroz ovaj filtar smiju prolaziti signali bilo koje frekvencije, osim ako imaju fazni pomak.

Na temelju primjene i cijene, dizajner može odabrati odgovarajući filtar između različitih vrsta.

Ali ovdje možete vidjeti na izlaznim grafikonima da željeni i stvarni rezultati nisu potpuno isti. Iako je ta pogreška dopuštena u mnogim aplikacijama, ponekad nam je potreban precizniji filtar čiji izlazni graf teži ka idealnom filtru. Ovaj gotovo idealan odziv može se postići upotrebom posebnih tehnika dizajna, preciznih komponenata i brzih op-pojačala.

Butterworth, Caur i Chebyshev neki su od najčešće korištenih filtara koji mogu pružiti gotovo idealnu krivulju odziva. U njima ćemo ovdje raspraviti Butterworthov filtar jer je najpopularniji od tri.

Glavne značajke Butterworth filtra su:

Riječ je o filtru na bazi RC (otpornik, kondenzator) i Op-amp (operativno pojačalo)
To je aktivni filtar pa se pojačanje može prilagoditi ako je potrebno
Ključna karakteristika Butterworth-a je da ima ravni propusni opseg i ravni zaustavni pojas. To je razlog zašto se obično naziva "ravno-ravni filtar".

Sada ćemo razgovarati o modelu sklopa niskopropusnog Butterworth filtra radi boljeg razumijevanja.

Niskopropusni Butterworthov filtar prve narudžbe

Slika prikazuje model kruga niskopropusnog filtra prvog reda vrijednog maslaca.

U krugu imamo:

Napon 'Vin' kao ulazni signal napona koji je analogne prirode.
Napon 'Vo' je izlazni napon operativnog pojačala.
Otpornici 'RF' i 'R1' su negativni povratni otpori operativnog pojačala.
U krugu je prisutna jedna RC mreža (označena crvenim kvadratom), stoga je filtar niskopropusni filtar prvog reda
'RL' je otpor opterećenja povezan na izlazu op-pojačala.

Ako koristimo pravilo djelitelja napona u točki 'V1' tada možemo dobiti napon na kondenzatoru kao, V ₁ -V _u ovdje -jXc = 1 / 2ᴫfc

Nakon supstitucije ove jednadžbe imat ćemo nešto poput dolje

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

Sada se op-pojačalo koje se ovdje koristi u konfiguraciji negativne povratne sprege i za takav slučaj jednadžba izlaznog napona daje kao, V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

Ovo je standardna formula i za više detalja možete pogledati sklopove op-pojačala.

Ako podnesemo jednadžbu V1 u Vo imat ćemo, V0 = (1 + R _F / R ₁)

Nakon prepisivanja ove jednadžbe možemo dobiti, V ₀ / V _in = A _F / (1 + j (f / f _L))

U ovoj jednadžbi,

V ₀ / V _in = pojačanje filtra u ovisnosti o frekvenciji
AF = (1 + R _F / R ₁) = pojačanje propusnog opsega filtra
f = frekvencija ulaznog signala
f _L = 1 / 2ᴫRC = granična frekvencija filtra. Ovom jednadžbom možemo odabrati odgovarajuće vrijednosti otpornika i kondenzatora za odabir granične frekvencije kruga.

Ako gornju jednadžbu pretvorimo u polarni oblik koji ćemo imati,

Ovom jednadžbom možemo promatrati promjenu veličine pojačanja s promjenom frekvencije ulaznog signala.

Slučaj 1: f < L . Dakle, uzmimo u obzir da je ulazna frekvencija vrlo manja od granične frekvencije filtra,

Dakle, kada je ulazna frekvencija vrlo manja od granične frekvencije filtra, tada je veličina pojačanja približno jednaka pojačanju petlje op-pojačala.

2. slučaj: f = f _L. Ako je ulazna frekvencija jednaka graničnoj frekvenciji filtra,

Dakle, kada je ulazna frekvencija jednaka graničnoj frekvenciji filtra, tada je veličina pojačanja 0,707 puta veća od pojačanja petlje op-pojačala.

Case3: f> f _L. Ako je ulazna frekvencija veća od granične frekvencije filtra,

Kao što možete vidjeti iz uzorka, pojačanje filtra bit će isto kao i pojačanje op-pojačala sve dok frekvencija ulaznog signala ne bude manja od granične frekvencije. Ali kad frekvencija ulaznog signala dosegne graničnu frekvenciju, pojačanje se neznatno smanjuje, kao što se vidi u slučaju dva. A kako se frekvencija ulaznog signala još više povećava, pojačanje se postupno smanjuje dok ne dosegne nulu. Dakle, niskopropusni Butterworthov filtar omogućuje da se ulazni signal pojavi na izlazu sve dok frekvencija ulaznog signala nije niža od granične frekvencije.

Ako smo nacrtali grafikon frekvencijskog odziva za gornji krug, imat ćemo,

Kao što se vidi na grafikonu, pojačanje će biti linearno sve dok frekvencija ulaznog signala ne prijeđe graničnu vrijednost frekvencije, a kad se to dogodi, pojačanje se znatno smanjuje, a vrijednost izlaznog napona smanjuje se.

Niskopropusni filtar Butterworth drugog reda

Na slici je prikazan model kruga niskopropusnog filtra Butterworth drugog reda.

U krugu imamo:

Napon 'Vin' kao ulazni signal napona koji je analogne prirode.
Napon 'Vo' je izlazni napon operativnog pojačala.
Otpornici 'RF' i 'R1' su negativni povratni otpori operativnog pojačala.
U krugu je prisutna dvostruka RC mreža (označena crvenim kvadratom), stoga je filtar niskopropusni filtar drugog reda.
'RL' je otpor opterećenja povezan na izlazu op-pojačala.

Izvođenje Butterworth filtra niskog prolaza drugog reda

Filteri drugog reda važni su jer su filtri višeg reda dizajnirani pomoću njih. Dobitak od drugog reda filtra postavljen R1 i RF, a granična frekvencija f _H određuje R ₂, R ₃, C ₂ & C ₃ vrijednosti. Izvod za graničnu frekvenciju dan je kako slijedi, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

Jednadžba pojačanja napona za ovaj krug također se može naći na sličan način kao i prije, a ova jednadžba je dana u nastavku,

U ovoj jednadžbi,

V ₀ / V _in = pojačanje filtra u ovisnosti o frekvenciji
A _F = (1 + R _F / R ₁) pojačanje propusnog opsega filtra
f = frekvencija ulaznog signala
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = granična frekvencija filtra. Ovom jednadžbom možemo odabrati odgovarajuće vrijednosti otpornika i kondenzatora za odabir granične frekvencije kruga. Također ako odaberemo isti otpornik i kondenzator u RC mreži, jednadžba postaje,

Jednadžbom pojačanja napona možemo promatrati promjenu veličine pojačanja s odgovarajućom promjenom frekvencije ulaznog signala.

Slučaj 1: f < H . Dakle, uzmimo u obzir da je ulazna frekvencija vrlo manja od granične frekvencije filtra,

Dakle, kada je ulazna frekvencija vrlo manja od granične frekvencije filtra, tada je veličina pojačanja približno jednaka pojačanju petlje op-pojačala.

2. slučaj: f = F _H. Ako je ulazna frekvencija jednaka graničnoj frekvenciji filtra,

Dakle, kada je ulazna frekvencija jednaka graničnoj frekvenciji filtra, tada je veličina pojačanja 0,707 puta veća od pojačanja petlje op-pojačala.

Case3: f> f _H. Ako je ulazna frekvencija stvarno veća od granične frekvencije filtra,

Slično filtru prvog reda, pojačanje filtra bit će isto kao i pojačanje op-pojačala sve dok frekvencija ulaznog signala ne bude manja od granične frekvencije. Ali kad frekvencija ulaznog signala dosegne graničnu frekvenciju, pojačanje se neznatno smanjuje, kao što se vidi u slučaju dva. A kako se frekvencija ulaznog signala još više povećava, pojačanje se postupno smanjuje dok ne dosegne nulu. Dakle, niskopropusni Butterworthov filtar omogućuje da se ulazni signal pojavi na izlazu sve dok frekvencija ulaznog signala nije niža od granične frekvencije.

Ako nacrtamo grafikon frekvencijskog odziva za gornji krug, imat ćemo,

Sad se možda pitate gdje je razlika između filtra prvog reda i filtra drugog reda ? Odgovor je u grafu, ako pažljivo promatrate, možete vidjeti nakon što frekvencija ulaznog signala prijeđe graničnu frekvenciju, graf naglo opada i ovaj pad je očitiji u drugom redu u odnosu na prvi red. S ovim strmim nagibom, Butterworthov filtar drugog reda bit će skloniji idealnom grafikonu filtra u usporedbi s Butterworthovim filtrom jednog reda.

To je isto za Butterworthov niskopropusni filtar trećeg reda, Butterworthov niskopropusni filtar četvrtog reda i tako dalje. Što je viši poredak filtra, to se graf dobitka naginje na idealan graf filtra. Ako nacrtamo graf dobitka za Butterworthove filtre višeg reda, imat ćemo nešto poput ovoga,

Na grafikonu, zelena krivulja predstavlja idealnu krivulju filtra i možete vidjeti kako se redoslijed Butterworthova filtra povećava, njegov graf dobitka naginje više prema idealnoj krivulji. Dakle, viši je poredak odabranog Butterworthova filtra što će idealnija krivulja pojačanja biti. S tim u vezi, ne možete lako odabrati filtar višeg reda, jer točnost filtra opada s porastom redoslijeda. Stoga je najbolje odabrati redoslijed filtra, pri čemu se pazi na potrebnu točnost.

Niskopropusni Butterworthov filtar drugog reda izvedbe -Aliter

Nakon objavljivanja članka dobili smo poruku od Keitha Vogela, koji je umirovljeni inženjer elektrotehnike. Primijetio je široko rasprostranjenu pogrešku u opisu niskopropusnog filtra ^drugog reda i ponudio svoje objašnjenje kako bi ga ispravio, kako slijedi.

Pa da se i ja dobro razumijem:

A onda recite da je granična frekvencija -6db opisana jednadžbom:

f _c = 1 / (

)

Međutim, to jednostavno nije istina! Dopustite da mi vjerujete. Napravimo sklop u kojem je R1 = R2 = 160, a C1 = C2 = 100nF (0,1uF). S obzirom na jednadžbu, trebali bismo imati frekvenciju -6db od:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9,947 kHz

Idemo naprijed i simulirajte sklop i pogledajte gdje je točka -6db:

Oh, simulira na 6.33kHz NE 9.947kHz; ali simulacija NIJE POGREŠNA!

Za vašu informaciju upotrijebio sam -6.0206db umjesto -6db jer je 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 malo bliži broj od -6, a da bih dobio precizniju simuliranu učestalost naših jednadžbi, želio sam upotrijebiti nešto malo bliže od samo -6db. Ako bih doista želio postići frekvenciju opisanu jednadžbom, trebao bih umetati između ^prvog i ^drugog stupnja filtra. Točniji sklop naše jednadžbe bio bi:

I ovdje vidimo da se naša točka -6.0206db simulira na 9.945kHz, puno puno bliže našim izračunatih 9.947kHZ. Nadam se da mi vjerujete da je došlo do pogreške! Sada razgovarajmo o tome kako je došlo do pogreške i zašto je ovo samo loš inženjering.

Većina opisa započinje niskopropusnim filtrom ^prvog reda s impedancijom kako slijedi.

I dobivate jednostavnu funkciju prijenosa:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

Tada kažu ako stavite samo dva od njih da biste napravili filtar za ^drugu narudžbu, dobit ćete:

H (s) = H ₁ (s) * H ₂ (s).

Gdje je H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Što će pri izračunavanju rezultirati jednadžbom fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Ovdje je pogreška, odgovor H ₁ (s) NIJE neovisan o H ₂ (s) u krugu, ne možete reći H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1).

Impedancija H ₂ (a), utječe na odgovor H ₁ (e). I tako zašto ovaj sklop radi, jer opamp izolira H ₂ (s) H ₁ (e)!

Dakle, sada ću analizirati sljedeći sklop. Razmotrimo naš izvorni sklop:

Radi jednostavnosti, napravit ću R1 = R2 i C1 = C2, inače se matematika stvarno uključuje. Ali trebali bismo biti u stanju izvesti stvarnu funkciju prijenosa i usporediti je s našim simulacijama za provjeru valjanosti kad završimo.

Ako kažemo, Z ₁ = 1 / sC paralelno s (R + 1 / sC), krug možemo precrtati kao:

Znamo da je V ₁ / V _u = Z ₁ / (R + Z ₁); Gdje Z ₁ može biti složena impedancija. A ako se vratimo na naš izvorni krug, možemo vidjeti Z ₁ = 1 / sC paralelno s (R + 1 / sC)

Također možemo vidjeti da je Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1), što je H ₂ (s). No H ₁ (e) je mnogo složenije, da je Z ₁ / (R + Z ₁), u kojoj je Z ₁ = 1 / SC - (R + 1 / SC) i NIJE 1 / (sRC + 1)!

Dakle, pustimo sada da temeljimo matematiku za naš krug; za osobiti slučaj R1 = R2 i C1 = C2.

Imamo:

V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

I konačno

Vo / V _u = * = * = * = * = *

Ovdje to možemo vidjeti:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3 sRC + 1)…

nije 1 / (sRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

I..

Vo / V _u = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

Znamo da je točka -6db (

/ 2) ² = 0,5

I znamo kada je veličina naše prijenosne funkcije 0,5, mi smo na frekvenciji -6db.

Dakle, riješimo to:

-Vo / V _u - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5

Neka je s = jꙍ, imamo:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

Da biste pronašli veličinu, uzmite kvadratni korijen iz kvadrata stvarnog i imaginarnog pojma.

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

kvadriranje obje strane:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

Proširivanje:

1 - 2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

Neka je x = (ꙍRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

Korištenjem kvadratne jednadžbe za rješavanje x